ПАРАДОКСЫ
“...Истина все же скорее возникает из ошибки, чем из спутанности...”
Ф. Бэкон
“Логические парадоксы озадачили с момента своего открытия и, вероятно, будут озадачивать нас всегда. Мы должны, я думаю, рассматривать их не столько как проблемы, ожидающие решения, сколько как неисчерпаемый сырой материал для размышления. Они важны, поскольку размышление о них затрагивает наиболее фундаментальные вопросы всей логики, а значит, и всего мышления”.
Г. фон Вригт
“У всякого безумия есть своя логика”.
В. Шекспир
РЕАБИЛИТАЦИЯ ПАРАДОКСОВ
Парадокс в широком смысле - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется “безусловно правильным”. Само греческое слово, от которого произведено наше слово “парадокс”, буквально означало “необычное, странное, невероятное, замечательное”. Все эти эпитеты, без сомнения, приложимы к парадоксам. Подлинный парадокс необычен и странен, более того, он даже невероятен; однако он предстает как убедительное для нашего ума доказательство, и потому он замечателен.
Парадокс в более узком и более современном значении - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы.
Наиболее резкая форма парадокса - антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых есть отрицание другого.
Парадоксальны в широком смысле афоризмы, подобные таким: “Люди жестоки, но человек добр” или “Признайте, что все равны, - и тут же появятся великие”, и вообще любые мнения и суждения, отклоняющиеся от традиции и противостоящие общеизвестному, “ортодоксальному”. Парадоксальность - характерная черта современного научного познания мира.
Наука, одной из определяющих особенностей которой является постоянное развитие, во все времена находилась в определенном конфликте с тем, что уже устоялось и стало привычным. Постоянно расширяющееся знание периодически оказывалось не просто в рассогласовании, а даже в противоречии со старыми догмами. Временами это противоречие достигало такой остроты, что его вправе было назвать парадоксом. Парадоксальным был, например, в свое время закон всемирного тяготения Ньютона, объединивший такие разные виды движения, как падение яблока и движение планет по орбитам. Несомненный
оттенок парадокса имела и волновая теория света, утверждавшая, что в центре тени, отбрасываемой непрозрачным предметом, должно быть светлое пятно.Всякая радикальная теория, резко рвущая с привычными представлениями и неожиданно объединяющая то, что всегда казалось лишенным всякой общности, воспринималась как посягательство на основы привычного видения мира и тем самым как парадокс.
Парадоксальными оказывались также отдельные, экспериментально установленные факты, вступившие в противоречие с ортодоксальными теориями.
Таким образом, наука постоянно порождала парадоксы. Но в условиях относительно медленного развития научного знания они были не очень многочисленными и не звучали столь резко. К тому же научные открытия и практические их приложения разделялись обычно большими промежутками времени, так что парадоксы локализовались по преимуществу в абстрактной, теоретической сфере и могли десятилетиями, а то и столетиями ожидать своего разрешения.
В настоящее время наука сделалась, как и предсказывал К. Маркс, непосредственной производительной силой. Быстрый рост научного знания сочетается с ускоренным внедрением новейших научных достижений в практику, В этих условиях противоречия, между научными теориями, между теориями и опытом, как только они появляются, приобретают сразу же резкий и неотложный характер. Выявление таких противоречий и парадоксов и их разрешение стало для современной науки обычным делом. Не удивительно поэтому, что тема парадоксов стала популярной в исследованиях, посвященных развитию и
росту научного знания.Еще сто лет тому назад парадоксы воспринимались по преимуществу как крайне досадное препятствие на пути познания. Современная трактовка парадоксов в корне отлична от этой обеспокоенной и опасливой реакции.
Противоречия науки и парадоксы как их наиболее своеобразная и резкая форма воспринимаются теперь как естественное следствие процесса развития научного знания. То, что наиболее глубокие и сложные проблемы встают нередко в остро парадоксальной форме, никого уже не удивляет и тем более не повергает в смятение. Иногда парадоксальность выступает даже в качестве особого критерия оценки научных гипотез и теорий. Степень глубины предлагаемой концепции ставится в зависимость от того, насколько радикально эта концепция порывает с ранее господствовавшими представлениями об исследуемом круге явлений. Требование не просто “новых”, а “сумасшедших” новых теорий - это, в сущности, требование парадокса. Как сказал Шерлок Холмс, “все теории, объясняющие явления природы, должны быть смелы, как сама природа”.
Парадокс и такие его частные случаи, как антиномия и апория, были типичными способами постановки проблем в античном мышлении. Затем парадоксы на долгие века были отставлены в сторону и ютились на окраинах науки. Современная наука реабилитировала их и признала полноправными членами сообщества научных проблем.
ПАРАДОКС “ЛЖЕЦ”
Особой популярностью парадоксы пользуются в самых строгих и точных из всех наук - математике и логике. Здесь их статус глубоких и кардинальных проблем не подвергается сомнению. Предлагаются сотни разнообразных их решений, но никаких общепринятых способов объяснения и устранения парадоксов пока не найдено.
В дальнейшем мы будем рассматривать только некоторые из логических парадоксов. Все они хорошо известны и вместе с тем не требуют для своего изложения каких-либо специальных терминов. Размышление над этими простыми на первый взгляд затруднениями, ни одно из которых не имеет, впрочем, общепризнанного решения, является, хорошей тренировкой ума, и прежде всего его остроты и
последовательности. Важность этих качеств ума несомненна: нередко спутанность рассуждений большая беда, чем ошибка.Наиболее известным и, пожалуй, самым интересным из всех логических парадоксов является парадокс “Лжец”. Имеются различные варианты этого парадокса, многие из которых только по видимости парадоксальны.
В простейшем варианте “Лжеца” человек произносит всего одну фразу: “Я лгу”. Или говорит: “Высказывание, которое я сейчас произношу, является ложным”. Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжет, то он одновременно лжет и говорит правду.
Действительно, истинно или ложно высказывание “Выраженное сейчас высказывание ложно”? Если оно истинно и утверждает, что ложно, то оно ложно. Если же оно ложно и утверждает, что ложно, то оно истинно. Данный парадокс можно переформулировать и так.
Допустим, что на лицевой стороне карточки стоят слова: “На другой стороне этой карточки написано истинное высказывание” - и ничего более. Ясно, что эти слова представляют собой осмысленное утверждение. Перевернув карточку, мы находим на ее обороте слова: “На другой стороне этой карточки написано ложное высказыванием - и опять-таки ничего более. Предположим, что утверждение на лицевой стороне - истинно. Тогда утверждение на обороте должно быть истинным и, значит, утверждение на лицевой стороне должно быть ложным. Но если утверждение с лицевой стороны ложно, тогда утверждение на обороте также должно быть ложным и, следовательно, утверждение на лицевой стороне должно быть истинным. В итоге -парадокс.
В древности “Лжец” рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения. В средние века “Лжец” был отнесен к “неразрешимым предложениям”. Теперь он нередко именуется “королем логических парадоксов”. Были предложены десятки решений этого парадокса, но осталось неясным, какие проблемы скрываются за ним.
С развитием логики в нем стали видеть смешение двух языков: языка, на котором говорится о предметах, существующих в мире, и языка, служащего для описания самого такого “предметного” языка. В нашем обычном языке эти два уровня не различаются. Иногда “Лжец” рассматривается как пример неправильного употребления так называемых “указательных выражений”. В них встречаются слова, подобные “это”, “я”, “здесь”, “теперь”, и их истинность зависит от того, когда, кем и где они употребляются. Известен рассказ о купце, который из соображений рекламы вывесил объявление: “Сегодня за наличные, завтра в кредит”. Он решил, что это объявление ни к чему его не обязывает: ни в какой день нельзя сказать, что сегодня как раз тот день, когда наступило завтра. Эта же хитрость скрывается, похоже, и за “Лжецом”.
Нет оснований быть уверенным, что в других теоретических построениях с этим парадоксом не окажутся связанными какие-то иные проблемы. Но раз остается не вполне ясным, какие именно проблемы скрываются за “Лжецом”, не может быть и твердых рекомендаций, как следует избавляться от него.
Очевидно, однако, что “Лжец” не должен пониматься как локальное, изолированное препятствие, устранимое одним особо изобретательным движением мысли.
НЕРАЗРЕШИМЫЙ СПОР
В основе одного известного парадокса лежит небольшое происшествие, случившееся две с лишним тысячи лет назад и не забытое до сих пор.
У знаменитого софиста Протагора, жившего в V в. до н. э., был ученик по имени Еватл, обучавшийся праву. По заключенному между ними договору Еватл должен был заплатить за обучение лишь в том случае если выиграет свой первый судебный процесс. Но, закончив обучение, он не стал участвовать в процессах. Это длилось довольно долго, терпение учителя иссякло, и он подал на своего ученика в суд. Свое требование Протагор обосновал так:
- Каким бы ни было решение суда, Еватл должен будет заплатить мне. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу нашего договора. Если проиграет, то решение суда будет в мою пользу, и заплатить нужно будет согласно этому решению.
Судя по всему, Еватл был способным учеником. поскольку он ответил Протагору:
-Действительно, я либо, выиграю процесс, либо проиграю его. Если выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если решение суда будет не в мою пользу, значит, я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу нашего договора.
Озадаченный таким оборотом дела, Протагор посвятил этому спору с Еватлом особое сочинение “Тяжба о плате”. К сожалению, оно, как и большая часть написанного Протагордм, не дошло до нас. Тем не менее нужно отдать должное Протагору, сразу почувствовавшему за простым судебным казусом проблему, заслуживающую специального исследования.
Было предложено много решений данного парадокса. Ссылались, в частности, на то, что решение суда должно иметь большую силу, чем частная договоренность двух лиц. Однако, не будь этой договоренности, какой бы незначительной она ни казалась, не было бы ни суда, ни его решения. Ведь суд должен вынести свое решение именно по ее поводу и на ее основе.
Обращались также к общему принципу, что всякий труд, а значит, и труд Протагора, должен быть оплачен.
Но этот принцип всегда имел исключения, тем более он не был универсальным в рабовладельческом обществе. К тому же он просто не приложим к конкретной ситуации спора: ведь Протагор, гарантируя высокий уровень обучения, сам отказывался принимать плату в случае первой неудачи своего ученика. Если под решением данного затруднения понимать ответ на вопрос, должен Еватл заплатить Протагору или нет, то эти, как и все другие мыслимые решения являются, конечно, несостоятельными. Они представляют собой не более чем уход от существа спора, являются, так сказать, софистическими уловками и хитростями в безвыходной и неразрешимой ситуации. Ни здравый смысл, ни какие-то общие принципы, касающиеся социальных отношений не способны разрешить спор.
Простых средств логики достаточно для доказательства того, что невозможно выполнить вместе договор в его первоначальной форме и решение суда, каким бы последнее ни было. С помощью этих же средств можно также показать, что договор, несмотря на его вполне невинный внешний вид, внутренне противоречив. Он требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно н уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.
Человеческому уму, привыкшему не только к своей силе, но и к своей гибкости и даже изворотливости, трудно, конечно, смириться с этой абсолютной безвыходностью и признать себя загнанным в тупик. Это особенно трудно тогда, когда тупиковая ситуация создается самим этим умом. Он, так сказать, оступается на ровном месте и угождает в свои собственные сети.
И тем не менее приходится признать, что иногда, впрочем, не так уж редко, соглашения и системы правил, сложившиеся стихийно или введенные сознательно, приводят к неразрешимым, безвыходным положениям.
ПАРАДОКСЫ И ХИТРЕЦЫ
В Древней Греции пользовался большой популярностью рассказ о крокодиле и матери.
Крокодил выхватил у женщины, стоявшей на берегу реки, ее ребенка. На ее мольбу вернуть ребенка крокодил, пролив, как всегда, крокодилову слезу, ответил:
-Твое несчастье растрогало меня, и я дам тебе шанс получить назад ребенка. Угадай, отдам я его тебе или нет. Если ответишь правильно, я верну ребенка. Если не угадаешь, я его не отдам. Подумав, мать ответила:
- Ты не отдашь мне ребенка.
- Ты его не получишь, - заключил крокодил. - Ты сказала либо правду, либо неправду. Если то, что я не отдам ребенка, - правда, я не отдам его, так как иначе сказанное не будет правдой. Если сказанное - неправда, значит, ты не угадала, и я не отдам ребенка по уговору. Однако матери это рассуждение не показалось убедительным.
- Но ведь если я сказала правду, то ты отдашь мне ребенка, как мы и договорились. Если же я не угадала, что ты не отдашь ребенка, то ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною не будет неправдой.
Кто прав: мать или крокодил? К чему обязывает крокодила данное им обещание? К тому, чтобы отдать ребенка, или, напротив, чтобы не отдавать его?
И к тому и к другому одновременно. Это обещание внутренне противоречиво и, таким образом, невыполнимо в силу законов логики.
Миссионер очутился у людоедов и попал как раз к обеду. Они разрешают ему выбрать в каком виде его съедят. Для этого он должен произнести какое-нибудь высказывание с условием, что если это высказывание окажется истинным, они его сварят, а если оно окажется ложным, его зажарят. Что следует сказать миссионеру?
Разумеется, он должен сказать: “Вы зажарите меня”. Если его действительно зажарят, окажется, что он высказал истину и, значит, его надо сварить. Если же его сварят, его высказывание будет ложным и его следует как раз зажарить. Выхода у людоедов не будет: из “зажарить
” вытекает “сварить”, и наоборот.Этот эпизод с хитрым миссионером является, конечно, еще одной из перефразировок спора Протагора и Еватла.
ЕЩЕ ДВА ПАРАДОКСА
Интересный логический парадокс был открыт К.Греллингом и Л.Нельсоном.
Этот парадокс можно сформулировать очень просто. Некоторые слова, обозначающие свойства, обладают тем самым свойством, которое они называют. Например, прилагательное “русское” само является русским, “многосложное” - само многосложно, а “пятислоговое” само имеет пять слогов. Такие слова, относящиеся к самим себе, называются “самозначными” или “аутологическимн”.
Подобных слов не так много, в подавляющем большинстве прилагательные не обладают называемым каждым из них свойством. “Новое” не является, конечно, новым, “горячее” - горячим, “однослоговое” - состоящим из одного слога, а “английское” английским. Слова, не имеющие свойства, обозначаемого ими, называются “инозначными” или “гетерологическими”. Очевидно, что все прилагательные, обозначающие свойства, не приложимые к словам,
будут гетерологическими.Это разделение прилагательных на две группы кажется ясным и не вызывает возражений. Оно может быть распространено и на существительные: “слово” является словом, “существительное” - существительным, но “часы” - это не часы, а “глагол” - не глагол.
Парадокс возникает, как только задается вопрос: к какой из двух групп относится само прилагательное “гетерологическое”? Если оно аутологическое, оно обладает обозначаемым им свойством и должно быть гетерологическим. Если же оно гетерологическое, оно не имеет называемого им свойства и должно быть поэтому аутологическим. Налицо парадокс.
Еще одна внешне простая антиномия была указана в самом начале нашего века Д. Берри.
Множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются, например, в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение “наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся из менее чем ста слов” является как раз именем этого числа! Это имя сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени!