Главная страница Список работ

5.1. Дискуссия о характере бесконечного

Проблема бесконечности в настоящее время приобретает все большее значение для различных отраслей научного знания - философии, математики, физики и др., а также играет принципиальную роль в решении ряда мировоззренческих проблем. История науки позволяет проследить развитие и борьбу противоположных концепций, связанных с рассмотрением тех или иных аспектов бесконечного.

Начиная с древних философских учений, ведется дискуссия между сторонниками финитизма и инфинитизма. Их позиции по существу могут быть сведены, соответственно, к отрицанию или признанию существования бесконечного как в форме беспредельности, так и в форме бесконечной делимости. В античной науке финитизм был связан с математическим идеалистическим “атомизмом” пифагорейцев или материалистическим атомизмом Левкиппа и Демокрита. Демокрит, отвергая в своем атомистическом учении бесконечную делимость, отрицал тем самым бесконечность, рассматриваемую как бы “вглубь”. Однако бесконечность, взятую “вширь”, т.е. бесконечное число единиц, существующих одновременно, Демокрит неоднократно признавал существующей1. Именно идея атомизма при категоричном и одностороннем ее понимании часто становилась в истории науки жестко финитистской концепцией. В противоположность финитистскому атомизму Анаксагор считал, что “материя делима до бесконечности, самое малое заключает в себе бесконечность”2. Аристотель указывал на то, что из утверждений Анаксагора вытекает, будто “в конечной величине... бесконечное множество равных конечных (частей), что невозможно”, “в непрерывном заключено бесконечное (число) половин, но только не в действительности, а в возможности”3. Следует отметить, что на протяжении тысячелетий ни одна из противоположных концепций не смогла утвердиться в качестве достаточной базы для удовлетворительного логического решения возникающих мировоззренческих и конкретно-научных, в частности, математических, проблем.

В подходах инфинитистов имелись заметные разногласия по вопросу о том, наличествует ли только потенциальная бесконечность как “возможность всего конечного”4, или следует признать также и существование актуальной бесконечности, которая не только заключается в возможной беспредельной последовательности каких-либо объектов или актов, но и дана целиком, сразу во всем своем объеме. Например, знаменитая аксиома Евдокса - Архимеда сводила бесконечность только к потенциальной, поскольку утверждала, что для любых двух неравных величин путем деления большей из них пополам рано или поздно можно достичь такого момента, когда большая величина превратится в меньшую из двух. Согласно Аристотелю, следует принимать не актуальную бесконечную разделенность, но потенциальную бесконечную делимость в смысле неограниченной возможности подразделения5. У Платона беспредельность, так же как у Аристотеля, выступает как некая постоянная возможность процесса деления, т.е. как потенциальная бесконечность6. Актуальная бесконечность признавалась средневековыми философами как выражение абсолютной полноты и совершенства божественных атрибутов. Фома Аквинский связывал ее с неподвижностью, постоянством. Это характерная черта метафизического отождествления бесконечного с абсолютным “в чистом виде”, оторванным и противопоставленным относительному. (Данное понимание перешло в объективно-идеалистическую философию неотомизма.) В средние века появились и зачатки концепции множественности актуальной бесконечности (Сабит Ибн Корра, Роберт Линкольнский)7 Во взглядах философов нового времени на проблему бесконечного начинает проявляться тенденция отхода от схоластики в пользу соотнесения умозрительных рассуждений с эмпирическим уровнем научного познания, с практикой. Так Дж.Бруно отстаивал мнение о том, что Вселенная бесконечна “вширь”, но не делима до бесконечности, в природе нет оснований для мыслимого, математического деления до бесконечности8.

С особой остротой разногласия о характере бесконечности проявлялись в споре о сущности, актуальности бесконечно малых величин. Анализируя процесс бесконечного деления геометрических фигур, Галилео Галилей ввел так называемые “неопределенные неделимые”, что-то вроде бесконечно малых, впоследствии успешно используемые И.Кеплером и Б.Кавальери на практике. Однако применение ими “неопределенных неделимых” не сопровождалось соответствующим анализом содержания этого понятия, несущего в себе неизбежное противоречие, ибо данные величины не могли быть конечными, но не могли быть и нулевыми

9. Несмотря на достигнутые с помощью этого метода математические успехи, почва для противостояния философских концепций финитизма и инфинитизма сохранялась. Так Р.Декарт, отождествляя пространство и материю, считал, что “...невозможно существование каких-либо атомов, т.е. частей материи, неделимых по своей природе, как это вообразили некоторые философы”10. В противоположность этому, П.Гассенди, выступая против бесконечной делимости тел, высказывал мнение, что в конечном теле никак не может содержаться бесконечное ни по протяженности, ни по числу11. В этот же период, несмотря на религиозные предрассудки и возражения агностиков, передовыми философами и математиками делаются шаги в направлении конкретизации представлений о природе бесконечности. Знаменательным результатом явилось доказательство Декартом того, что сумма бесконечного ряда 10-1 + 10-2 + 10-3 + ... и т.д. равна 9-1. Был поставлен вопрос о частях бесконечности, о множественности бесконечностей. “Что одно бесконечное может быть больше другого, - писал Б.Кавальери12, - я осмелился положить прочнейшим основанием геометрии.” Позднее И.Ньютон выявил связь бесконечно малых различных порядков с движением, а во взглядах Г.Лейбница на проблему соотношения конечного и бесконечного уже отчетливо просматривается диалектическая тенденция, замещающая ведущую к заблуждениям метафизическую “четкость”. Определенной реакцией на попытки изучения объективных свойств бесконечности являлась точка зрения, согласно которой бесконечность сводилась к неопределенности (Т.Гоббс) или вовсе отрицалась (Беркли, Д.Юм).

Многими математиками и философами отмечалась противоречивость соединения в понятии актуальной бесконечности противоположных аспектов, а именно конечного и бесконечного. Однако господство метафизического способа мышления и ограниченность естественнонаучной базы не позволяли исследователям выработать адекватное реальности (диалектическое) понимание актуально бесконечного, чтобы на его основе решить логический спор финитистов и инфинитистов. Если энтузиазм инфинитистов поддерживался в основном растущим успехом частных наук, использующих понятие бесконечности, то аргументами финитистов служили, во-первых, утверждения, будто бы бесконечность существует лишь в абстракции, а в реальности ее нет; во-вторых, сведение бесконечного к конечному в результате негативного определения бесконечности; в-третьих, отрицание бесконечности на основании ее противоречивости; в-четвертых, объявление непознаваемости бесконечности, что вело к ее отрицанию.

Существенный вклад в философское осмысление сущности бесконечного был сделан И.Кантом. Кант ввел определенное разделение, которое позволило при допущении бесконечной делимости целого не признавать актуального существования бесконечного множества частей в целом. По мнению Канта, хотя все эти части содержатся “в созерцании целого, однако нем не содержится все деление

”13. Только процесс разложения целого и делает ряд действительным (актуализирует бесконечное множество). Получается, что в целом содержатся все части, но не весь “ряд деления”14, и поэтому он никогда не станет “целым рядом” и, следовательно, “не может показывать бесконечного множества частей и собирания их в одно целое”15.

Проведенный Кантом тщательный анализ соотношения противоположностей (в том числе конечного и бесконечного) подготовил почву для идеи об их единстве, выдвинутой Г.В.Ф.Гегелем. Конечное и бесконечное всегда имеют качественное различие. “...Увеличение определенного количества не есть приближение к бесконечному...”

16. Бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые не могут дальше уменьшаться или увеличиваться - это “на самом деле уже не определенное количество, как таковое”17, а “определенность величины в качественной форме”18. Противопоставленное конечному лишь в отношении “иного”, бесконечное оказывается “дурным бесконечным, бесконечным рассудка”19. “...Удерживая бесконечное чистым от конечного и вдали от него, мы его лишь оконечиваем.”20. Истинное бесконечное есть отрицание отрицания, т.е. утверждение, а не отрицание. Гегель проводил аналогию между двумя видами, с одной стороны, “философского” бесконечного - метафизического и истинного, и, с другой стороны, математического бесконечного, которое тоже может быть или “дурным”, или истинным. (Под истинной бесконечностью Гегель, по существу, понимает актуальную бесконечность, бесконечность, в которой противоречия находятся в глубоком, внутреннем единстве21). Разница между философским и математическим бесконечным заключается лишь в том, что последнее есть частное, конкретное выражение философского бесконечного в специфической числовой форме22. В частности, бесконечность бесконечного ряда является “дурной”, метафизической, неистинной. Отношение же, которое выражается конечным числом, является истинным математическим бесконечным. Это объясняется тем, что в нем нет того несовершенства, той отрицательности, недостаточности, которые имеются в последовательности, получаемой из разложения данного числа. Гегелевское понимание диалектики конечного и бесконечного во многом предвосхитило конкретно-научные результаты математических работ Г.Кантора, касающиеся свойств трансфинитного (сверхконечного, актуально бесконечного).

На современном этапе развития математики проблема бесконечности приобрела особую остроту и принципиальность. Предпринимаемые в ХХ столетии различными математическими школами попытки устранения противоречий с целью строгого обоснования классической математики не привели к ожидаемым результатам. При этом был предельно четко обозначен “камень преткновения”, заключающийся, с одной стороны, в необходимости, а с другой,

- в противоречивости понятия бесконечности. Выявленные противоречия не укладываются в рамки общепринятой аристотелевской логики и выражаются в появлении формально-логических парадоксов.

Современный уровень развития науки требует признания того, что бесконечность диалектически противоречива, ибо содержит в себе противоположные моменты. Она, с одной стороны, означает неисчерпаемость, неизмеримость, неохватность бытия, а с другой

- его всеобщность, самоопределенность, замкнутость в себе. Первое выражает отрицательный момент понятия бесконечности, второе - положительный.

Содержание понятия бесконечности заключается не только в ее логико-гносеологическом аспекте, но также включает онтологическую сторону. Тем самым, для правильного конкретно-научного подхода к понятию бесконечности нужна философско-методологическая основа, а для содержательного философского анализа необходим опыт конкретизации содержания бесконечного в частных науках. Онтологические основания тех или иных общенаучных представлений следует искать, прежде всего, в физике (и космологии) как “наиболее онтологической” отрасли науки. Поиски решения проблемы бесконечности на уровне математических абстракций или философских обобщений остро нуждаются в соотнесении с установившимися и развивающимися физическими представлениями. Еще Аристотель пытался использовать рассуждения о бесконечности времени

23 для объективного обоснования потенциальной бесконечности. Однако положение о бесконечности времени (как и любой иной физической величины) само по себе требует предварительного научного обоснования. Традиционно физика заимствовала идеи о сущности бесконечности из философии и логики, поскольку не располагала данными онтологического характера ни о бесконечно больших, ни о бесконечно малых величинах. Лишь с открытием инвариантных физических величин и анализом их свойств, на наш взгляд, появляется возможность содержательного применения онтологически ориентированного подхода к решению вопроса о природе бесконечности24 в дополнение к традиционно используемым чисто умозрительным методам философии и логики (математики). Сама возможность системного осуществления подобного подхода к вопросу о бесконечном является принципиально новой. Раскрывая бесконечное через инвариантное мы основываемся на том, что инвариантность означает в определенном смысле ту или иную степень (форму) всеобщности явления, а форма всеобщности, в свою очередь, есть “форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности”25. Эта задача относится полностью к компетенции теоретического мышления, поскольку всеобщность находится в сфере господства мысли и не доступна эмпирическому методу26.

Примечания

1

Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 14.

2

Маковельский А.О. Древнегреческие атомисты. - Баку, 1946. - С. 175.

3

Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 15.

4

Николай Кузанский. Сочинения, Т. 1. - М., 1979. - С. 67-68.

5

Панченко А.И. Континуум и физика. - М.: Наука, 1975. - С. 9.

6

Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 15.

7

Там же. - С. 19-21.

8

Там же. - С. 30.

9

Галилей Г. Избранные труды, Т. 1. - М., 1964. - С. 140-142.

10

Декарт Р. Избранные произведения. - М., 1950. - С. 475.

11

Гассенди П. Сочинения, Т. 1. - М., 1966. - С. 152.

12

Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 41.

13

Кант И. Сочинения, Т. 3. - М., 1964. - С. 472.

14

Там же. - С. 473.

15

Там же. - С. 473.

16

Гегель Г.В.Ф. Наука логики, Т. 1. - М., 1970. - С. 306.

17

Там же. - С. 324.

18

Там же. - С. 326.

19

Там же. - С. 204.

20

Там же. - С. 201.

21

Свидерский В.И., Кармин А.С. Конечное и бесконечное. - М.: Наука, 1966. - С. 147.

22

Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 82.

23

Аристотель. Сочинения, Т. 3. - М., 1981. - С. 111.

24

Впервые почву для подобного подхода можно найти в специальной теории относительности, выдвинувшей постулат об инвариантности скорости света в вакууме. При этом физики столкнулись со случаем очевидной бесконечности: скорость света бесконечна по сравнению со всеми скоростями вещественных объектов, которые можно наблюдать или создавать экспериментально, и как таковая не может быть увеличена. “Но даже и без этого все неувязки и противоречия старой физики, вскрытые и перечисленные Эйнштейном и снабдившие его материалом для построения его теорий, - все они без исключения являются результатом различия между бесконечным и конечным. Он и сам нередко ссылается на это.” (Успенский П.Д. Новая модель Вселенной: Пер. с англ. - СПб: Изд-во Чернышева, 1993. - С. 467.).

25

Энгельс Ф. Диалектика природы. - М., 1955. - С. 185-186.

26

Босенко В.А. О познании бесконечного в движении / В кн.: Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистской космологии. - Киев: Наукова думка, 1965. - С. 288-292.
авиабилеты . натяжные потолки . стабилизаторы . генераторы . дизельные электростанции